両方とれます。これまでの病気・忌引き休暇の対象は、常勤職員と同様の勤務日および勤務時間で勤務する日々雇い入れられる職員のみでした。2009年10月1日から「6月以上の任期もしくは任用予定期間が定められている職員または6月以上勤務している職員」に拡大されます。したがって、週5日未満の勤務の方も対象となります。
　病気休暇（私傷病・無給）の日数は、一の年度（4月1日から翌年の3月31日までの間）に、1週間の勤務日の日数等に応じて、日数欄に掲げる日数となります（下表①参照）。
　忌引き休暇（有給）の付与日数は、現行どおりです（下表②参照）。

　病気休暇は、一般職の職員の勤務時間、休暇等に関する法律第18条により規定されていますが、制限期間が設けられているわけではありません。
　ただし、給与法第15条の規定により、給与の減額対象となることが定められています。また、給与法附則7項において、療養のために病気休暇を開始した日から90日を超えて勤務しないこととなった場合に俸給の半額を減ずることが定められています。
なお、公務上の負傷・疾病は除外されています。
　病気休暇が長期にわたることが明白な場合は、休職となることが一般的です。

　休暇簿に病名や病院名まで書く必要はありません。使用者として何らかの手続きのために病名や病院名などが必要であれば、別途証明などの提出を求めるべきものです。
　職場の人事・厚生の担当課に相談し、それでも改善されない場合は人事院の苦情相談制度を利用されてはいかがでしょう。

　国家公務員は、国家公務員退職手当法（以下「退職手当法」）によって雇用保険法の適用が除外されています。しかし、非常勤職員への退職手当法の適用は、18日（1日8時間）以上勤務した月が連続で6カ月を超えた時点となります。したがって、それまでの間は雇用保険に加入し、お問い合わせのように6カ月経過後は雇用保険法ではなく退職手当法の適用を受けることになります。よって、今の勤務条件が続く限り、今年度末までは雇用保険に加入することはできません。
　なお、雇用保険の加入期間は、最終の資格喪失日（離職日）から次の資格取得日（就職日）までの期間が1年以内であれば通算されます（ただし、失業給付を1日でも受給するとリセットされます）。

　受診できるようになると思います。来年4月からは、1週間あたりの勤務時間が常勤職員の2分の1以上で6カ月以上継続勤務している非常勤職員が一般定期健康診断の対象となります。6カ月以上継続勤務していなくても、6カ月以上継続勤務することが明らかな非常勤職員についても、受診できるように努めることとされます。
　検査の項目や回数などは常勤職員と同様で、検査項目には①身長・体重・視力・聴力、②胸部エックス線検査、③血圧測定・尿検査、④心電図・血清総コレステロール・中性脂肪・貧血検査、⑤胃の検査などがあります。
　これまで非常勤職員の一般定期健康診断は人事院規則に義務規定がなく、各省庁の自主性に任されていましたが、国公一般などの要求と運動によって一歩前進しました。勤務期間が６カ月を満たしていない非常勤職員も漏れなく定期健康診断を受診できるよう、一緒に取り組んでいきましょう。

　非常勤職員のアルバイト兼業は可能です。「国家公務員法」の第104条では、正規の国家公務員の兼業は「内閣総理大臣及びその職員の所轄庁の長の許可を要する」と制限されていますが、非常勤職員は「職員の兼業の許可に関する政令」（昭和41年）の第3条で、その条文の適用が除外されています。
　注意すべき点は、非常勤職員にも守秘義務が課せられており、職務で知り得た情報を漏らさないことです。また、アルバイトを始めるに際して職場での人間関係など不安があるようでしたら、職場にある労働組合に相談するとよいでしょう。

　個人情報保護法や行政機関個人情報保護法への違反ということにはなりませんが、ご相談のように、逆恨みなどの危険性があること、個人の名刺を渡す必然性がないこと（組織として対応すべきこと）から、使用者による名刺配付の強制は行き過ぎた行為だと思います。
　国公一般に加入して、業務運営をはじめとした職場環境の改善にとりくみましょう。

　とりあえず確認すべきこととしては、1)日給、手当（通勤等）、賞与、2)休暇制度、3)雇用期間、4)職務内容と超過勤務の有無、　くらいです。「初めての就職なので」と言えば、丁寧に教えてもらえると思います。教えてもらったことはメモしておくと良いでしょう。

　国家公務員（常勤・非常勤問わず）の任用関係は、民間の雇用関係とは異なり民法の規定は適用されず、国家公務員の場合は「何日後に効力を発する」というような規定はありません。辞職申出に「何月何日付で辞職したい」旨を明記のうえ提出してください。特段の支障がない限り、その日付で辞令が交付されます（人事院規則8-12第73条）。
　なお、給与は離職（辞職）日まで支払われます（給与法第9条の2）。期末手当は、基準日（6/1、12/1）に在職していれば支給されます。また、離職日までの間、年次休暇を取得することも可能で、一般的にも行われています。休暇届（申出）も特段の支障がない限り認めらます。

　事務処理は規定に沿ってせざるを得ません。実際の勤務形態に合うように規定を変更すべきです。国公一般に加入して規定の改善を求めましょう。